Vorlesung "Dynamische Systeme"
Visualisierung von Differentialgleichungen
Stephan Mertens
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Das mathematische Pendel
Die Differentialgleichung:
DGL := [diff(phi(t), t) = omega(t), diff(omega(t),t) = -beta*omega(t)-sin(phi(t))];
Die numerischen Parameter:
zeit := t =0..20; wertebereich := phi=-5..5, omega=-2..2; beta := 0.3;
Richtungsfeld:
dfieldplot(DGL, [phi(t), omega(t)], zeit, wertebereich, arrows=MEDIUM, color=black);
Anfangsbedingung f\303\274r eine Trajektorie:
ab1 := [phi(0) = -5, omega(0) = 2];
Richtungsfeld mit Trajektorie:
DEplot(DGL, [phi(t), omega(t)], zeit, [ab1], wertebereich, linecolor=black, thickness=3, stepsize=0.1, arrows=MEDIUM, color=grey);
Zwei Trajektorien:
ab2 := [phi(0)=3.14, omega(0)=-0.1]:
DEplot(DGL, [phi(t), omega(t)], zeit, [ab1, ab2], wertebereich, linecolor=[black,red], thickness=3, stepsize=0.1, arrows=MEDIUM, color=grey);
Visualisierung in 3d
Die Lorenz-Gleichung:
DGL:=([diff(x(t),t) = 10*(y(t)-x(t)),diff(y(t),t) = 25*x(t) - y(t) - x(t)*z(t), diff(z(t),t) = -(8/3)*z(t) + x(t)*y(t)]);
Anfangsbedingung:
ab1 := [0,-1,-1,1];
Und so einfach bekommt man den Lorenz-Attraktor zu sehen:
DEplot3d(DGL, [x,y,z], t=0..60,[ab1],stepsize=0.01,linecolor=black,thickness=0);